Question

如圖所示，某人想制造一個支架，它由四根金屬桿PH，HA，HB，HC構(gòu)成，其底端三點A，B，C均勻地固定在半徑為3m的圓O上（圓O在地面上），P，H，O三點相異且共線，PO與地面垂直．現(xiàn)要求點P到地面的距離恰為3

3

m，記用料總長為L=PH+HA+HB+HC，設(shè)∠HAO=θ．
（1）試將L表示為θ的函數(shù)，并注明定義域；
（2）當θ的正弦值是多少時，用料最��？

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用L=PH+HA+HB+HC，可將L表示為θ的函數(shù)，由點P，H重合，確定函數(shù)的定義域；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出θ的正弦值，用料最�。�

解答： 解：（1）因PO與地面垂直，且三點A，B，C均勻地固定在半徑為3m的圓O上，則△AOH，△BOH，△COH是全等的直角三角形，
又圓O的半徑為3，所以O(shè)H=3tanθ，AH=BH=CH=

3

cosθ

，…（3分）
又PH=3

3

-3tanθ，所以L=3

3

-3tanθ+

9

cosθ

，…（6分）
若點P，H重合，則tanθ=

3

，即θ=

π

3

，所以θ∈(0，

π

3

)，
從而L=3

3

-3tanθ+

9

cosθ

，θ∈(0，

π

3

)．…（8分）
（2）由（1）知L=3

3

-3tanθ+

9

cosθ

=3

3

+3•

3-sinθ

cosθ

，
所以L′=3•

3sinθ-1

cos2θ

，當L'=0時，sinθ=

1

3

，…（12分）
令sinθ0=

1

3

，θ0∈(0，

π

3

)，當θ∈(θ0，

π

3

)時，L'＞0；當θ∈（0，θ₀）時，L′＜0；
所以函數(shù)L在（0，θ₀）上單調(diào)遞減，在(θ0，

π

3

)上單調(diào)遞增，…（15分）
所以當θ=θ₀，即sinθ=

1

3

時，L有最小值，此時用料最省．…（16分）

點評：本題主要考查了空間想象能力，實際應(yīng)用能力和建模能力，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等有關(guān)知識，屬于難題．