【題目】如圖,是一塊足球訓(xùn)練場(chǎng)地,其中球門AB寬7米,B點(diǎn)位置的門柱距離邊線EF的長為21米,現(xiàn)在有一球員在該訓(xùn)練場(chǎng)地進(jìn)行直線跑動(dòng)中的射門訓(xùn)練.球員從離底線AF距離x(x≥10)米,離邊線EF距離a(7≤a≤14)米的C處開始跑動(dòng),跑動(dòng)線路為CD(CD∥EF),設(shè)射門角度∠ACB=θ.

(1)若a=14,
①當(dāng)球員離底線的距離x=14時(shí),求tanθ的值;
②問球員離底線的距離為多少時(shí),射門角度θ最大?
(2)若tanθ= ,當(dāng)a變化時(shí),求x的取值范圍.

【答案】
(1)解:在△ACD中,設(shè) ,

在△BCD中,設(shè) ,

當(dāng)a=14時(shí),AD=14,BD=7,

①若x=14,則 ;

②因?yàn)? 在x≥10時(shí)單調(diào)遞增,

所以 ,

所以當(dāng)x=10時(shí)射門角度θ最大


(2)解:AD=28﹣a,BD=21﹣a,

,則﹣x2+21x=a2﹣49a+28×21

因?yàn)?≤a≤14,所以98≤a2﹣49a+28×21≤294,

則98≤﹣x2+21x≤294,即 ,所以7≤x≤14

又x≥10,所以10≤x≤14

所以x的取值范圍是[10,14]


【解析】(1)①利用差角的正切函數(shù)求出tanθ的值;②利用函數(shù)的單調(diào)性,可得球員離底線的距離為多少時(shí),射門角度θ最大;(2)利用 ,則﹣x2+21x=a2﹣49a+28×21,因?yàn)?≤a≤14,所以98≤a2﹣49a+28×21≤294即可求x的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解基本不等式在最值問題中的應(yīng)用(用基本不等式求最值時(shí)(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”).

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