拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求證：；
（2）過作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于原點(diǎn)），
（i）是否恒成等差數(shù)列，請說明理由；
（ii）重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.

（1）即證（2）能拋物線

解析試題分析：（1）由于點(diǎn)F的坐標(biāo)已知，所以可假設(shè)直線AB的方程（依題意可得直線AB的斜率存在）.寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程消去y，即可得到一個關(guān)于x的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，再根據(jù)欲證轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系.
（2）（i）根據(jù)提議分別寫出，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證是否成立.
（ii）由三角形重心的坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理，消去參數(shù)k即可得到重心的軌跡.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/ef/0/zlfic1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以假設(shè)直線AB為，，所以點(diǎn).聯(lián)立可得，，所以.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/74/f/0rrrd1.png" style="vertical-align:middle;" />，.所以.
（2）（i）設(shè)，的導(dǎo)數(shù)為.所以可得，即可得.即得.
..所以可得即是否恒成等差數(shù)列.
（ii）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/18/3/jbmii3.png" style="vertical-align:middle;" />重心的坐標(biāo)為由題意可得.即，消去k可得.
考點(diǎn)：1.拋物線的性質(zhì).2.解方程的思想.3.等差數(shù)列的證明.4.三角形的重心的公式.5.運(yùn)算能力.6.分析問題和解決問題的能力、以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，有一個頂點(diǎn)為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.

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已知橢圓的右焦點(diǎn)，長軸的左、右端點(diǎn)分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過焦點(diǎn)斜率為（）的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線與軸相交于點(diǎn). 試問橢圓上是否存在點(diǎn)使得四邊形為菱形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線C：，點(diǎn)A、B在拋物線C上.

（1）若直線AB過點(diǎn)M（2p，0），且=4p，求過A，B，O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）三點(diǎn)的圓的方程；
（2）設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為，且，問直線AB是否會過某一定點(diǎn)？若是，求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知定點(diǎn)與分別在軸、軸上的動點(diǎn)滿足：,動點(diǎn)滿足．
（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（i）試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系；
（ii）探究是否為定值？并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點(diǎn)P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點(diǎn)A(1,0)的直線，使點(diǎn)C(2,0)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦距為，過右焦點(diǎn)和短軸一個端點(diǎn)的直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程.
（2）設(shè)斜率為的直線與相交于、兩點(diǎn)，記面積的最大值為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：，C2：. 設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．問k為何值時？此時的值是多少？

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