已知橢圓的右焦點，長軸的左、右端點分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過焦點斜率為（）的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于點. 試問橢圓上是否存在點使得四邊形為菱形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

（1）；（2）

解析試題分析：（1）由橢圓的右焦點，即.又長軸的左、右端點分別為,且，即可得，即可求出.從而得到橢圓的方程.
（2）由（1）可得假設直線AB的方程聯(lián)立橢圓方程消去y即可得到一個關于x的二次方程，由韋達定理得到根與直線斜率k的關系式.寫出線段AB的中點坐標以及線段AB的垂直平分線的方程.即可得到點D的坐標.假設存在點E由于對稱性本小題的問題等價轉(zhuǎn)化為即可.所以表示出點E的坐標.代入橢圓方程根據(jù)的解得情況即可結論.
試題解析：（1）依題設，，則，.
由，解得，所以.
所以橢圓的方程為. 
（2）依題直線的方程為.
由得.
設,,弦的中點為，
則，，，，
所以.
直線的方程為，
令，得，則.
若四邊形為菱形，則，.
所以.
若點在橢圓上，則.
整理得，解得.所以橢圓上存在點使得四邊形為菱形.
考點：1.向量的數(shù)量積.2.橢圓的性質(zhì).3.等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.4.運算能力.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓E：的焦點在x軸上．
(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
(2)設F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當a變化時，點P在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的一個焦點為，離心率為．設是橢圓長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y－4)2=1的圓心為點M

(1)求點M到拋物線C1的準線的距離；
(2)已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設，過點作與軸不重合的直線交橢圓于、兩點，連結、分別交直線于、兩點．試問直線、的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于、兩點，試問，是否存在軸上的點，使得對任意的，為定值，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線，直線過拋物線的焦點，交軸于點.

（1）求證：；
（2）過作拋物線的切線，切點為（異于原點），
（i）是否恒成等差數(shù)列，請說明理由；
（ii）重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點，點是橢圓上不同于的任意一點，設直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當，在焦點在軸上的橢圓上求一點Q，使該點到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點（的位置有關，并證明你的結論；

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