Question

如圖，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，cosA=

1

3

，cosB=

2 2

3

．CD是∠ACB的角平分線(xiàn)．
（1）求角C的大�。�
（2）求∠ADC的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由cosA與cosB都大于0，得到A與B都為銳角，求出cos²A+cos²B=1，變形后利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式變形求出A+B的度數(shù)，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由CD為角平分線(xiàn)，利用三角形外角性質(zhì)得到∠ADC=B+

π

4

，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值cos∠ADC的值．

解答： 解：（1）∵cosA＞0，cosB＞0，且A，B是△ABC的內(nèi)角，
∴A與B都為銳角，
∵cos²A+cos²B=

1

9

+

8

9

=1，
∴sin²A=cos²B，即sinA=cosB，
∴sinA=sin（

π

2

-B），即A=

π

2

-B，
∴A+B=

π

2

，
則C=

π

2

；
（2）由（1）得：C=

π

2

，
∴∠DCB=

π

4

，即∠ADC=B+

π

4

，
∴cos∠ADC=cos（B+

π

4

）=cosBcos

π

4

-sinBsin

π

4

=

2 2

3

×

2

2

-

1

3

×

2

2

=

4- 2

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．