Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，給出下列四個命題：
①若Sn=n2+bn+c(b，c∈R)，則{a_n}為等差數(shù)列；
②若{a_n}為等差數(shù)列且a₁＞0，則數(shù)列{a1an}為等比數(shù)列；
③若{a_n}為等比數(shù)列，則{lga_n}為等差數(shù)列；
④若{a_n}為等差數(shù)列，且S_n=100，a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，則S_2n=90，其中真命題有______．

Answer 1

因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，是關(guān)于n的二次函數(shù)，不含非0常數(shù)項(xiàng)，所以①不正確；
{a_n}為等差數(shù)列且a₁＞0，則數(shù)列{a1an}為等比數(shù)列，所以a_n=a₁+（n-1）d，
所以a1an=a1a1+(n-1)d，

a1an

a1an-1

=a1a1+(n-1)d-a1-(n-2)d=a1d，
所以數(shù)列{a1an}為等比數(shù)列，正確．
③若{a_n}為等比數(shù)列，則{lga_n}為等差數(shù)列，如果a_n=-2，lga_n沒有意義，所以不正確；
對于④{a_n}為等差數(shù)列，且S_n=100，a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，則S_2n=90，
所以S_2n-S_n=90-100=-10，S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，
100，-10，-120，是等差數(shù)列，所以④正確；
故答案為：②④．