Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+2cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[

π

2

， π]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式與兩角和的正弦函數(shù)，化簡f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+2cos2x，x∈R為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用周期公式與正弦函數(shù)的單調增區(qū)間求出函數(shù)的周期與單調增區(qū)間．
（Ⅱ）通過x∈[

π

2

， π]，求出2x+

π

6

的范圍，然后求出函數(shù)的值域即可．

解答：解：（I）f(x)=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+(1+cos2x)
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

6

)+

3

2

．（3分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．（4分）
由題意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即　kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的單調增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．（7分）
（Ⅱ）若x∈[

π

2

， π]，則2x+

π

6

∈[

7π

6

， 

13π

6

]，
sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]，
∴f(x)∈[

1

2

，2]．         （12分）

點評：本題考查二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)的應用，三角函數(shù)的值域與單調性的求法，考查計算能力．