Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無(wú)解．（其中）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，, 的單調(diào)遞減區(qū)間為．在處取得極大值，在處取得極小值．

（Ⅱ）見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，解方程，列出表格，確定的符號(hào)及的單調(diào)性，從而得出極大值和極小值；（Ⅱ）問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是證明在上的最大值小于或等于1．因此本小題實(shí)質(zhì)就如第（Ⅰ）小題一樣，求在上的最大值即可（要注意函數(shù)在閉區(qū)間上的最值可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得）．

試題解析：（Ⅰ）

因?yàn)?/span>,

所以，

當(dāng)時(shí)，．

令，得，

所以隨的變化情況如下表：

		極大值		極小值

所以在處取得極大值，

在處取得極小值．

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，, 的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（Ⅱ）證明：

不等式在區(qū)間上無(wú)解，等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，

即函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于等于1．

因?yàn)?/span>，

令，得．

因?yàn)?/span>時(shí)，所以．

當(dāng)時(shí)，對(duì)成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,

所以不等式在區(qū)間上無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：

	↘	極小值	↗

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為或．

此時(shí),，

所以 ．

綜上，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無(wú)解．