Question

已知左焦點(diǎn)為F₁（-2

2

，0）的橢圓過點(diǎn)（

3 2

2

，

2

2

），過上頂點(diǎn)A作兩條互相垂直的動弦AP，AQ交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動弦AP所在直線的斜率為1，求直角三角形APQ的面積；
（3）試問動直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意可得

c=2 2 9 2a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）由題意可得直線AP的方程為：y=x+1，直線AQ的方程為y=-x+1．分別與橢圓聯(lián)立解得點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|AP|，|AQ|，再利用三角形的面積計算公式即可得出；
（3）證明：直線PQ過定點(diǎn)M(0，-

4

5

)．設(shè)直線AP的方程為：y=kx+1，則直線AQ的方程為：y=-

1

k

x+1．分別與橢圓的方程聯(lián)立解得點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)．利用斜率計算公式可得k_PM=k_QM，即可得出P，Q，M三點(diǎn)共線，即可證明．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由題意可得

c=2 2 9 2a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，
解得a²=9，b²=1，c=2

2

．
∴橢圓的方程為

x2

9

+y2=1．
（2）由題意可得直線AP的方程為：y=x+1，直線AQ的方程為y=-x+1．
聯(lián)立

y=x+1 x2+9y2=9

，解得

xP=- 9 5 yP=- 4 5

，解得P(-

9

5

，-

4

5

)，
同理解得Q(

9

5

，-

4

5

)．
∴|AP|=|AQ|=

(- 9 5 )2+(- 4 5 -1)2

=

9 2

5

，
∴S△APQ=

1

2

|AP|2=

1

2

×(

9 2

5

)2=

81

25

．
（3）證明：直線PQ過定點(diǎn)M(0，-

4

5

)．
設(shè)直線AP的方程為：y=kx+1，則直線AQ的方程為：y=-

1

k

x+1．
聯(lián)立

y=kx+1 x2+9y2=9

，化為（1+9k²）x²+18kx=0，
∴xP=

-18k

1+9k2

，yP=

1-9k2

1+9k2

，即P(

-18k

1+9k2

，

1-9k2

1+9k2

)，
同理可得Q(

18k

k2+9

，

k2-9

k2+9

)．
∴kPM=

1-9k2 1+9k2 + 4 5

- 18k 1+9k2

=

k2-1

10k

，kQM=

k2-9 k2+9 + 4 5

18k k2+9

=

k2-1

10k

，
∴k_PM=k_QM，
∴P，Q，M三點(diǎn)共線．
∴直線PQ過定點(diǎn)M(0，-

4

5

)．

點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點(diǎn)的坐標(biāo)、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形的面積計算公式、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．