Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)（且）．

①求實(shí)數(shù)的值；

②判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明；

③當(dāng)且時(shí)，的值域是，求實(shí)數(shù)與的值．

Answer 1

①；②；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；③.

【解析】

試題分析：本題以復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，綜合考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，對(duì)考生數(shù)學(xué)式子變形能力要求較高.(1)由為奇函數(shù)，根據(jù)可以求出；（2）證明函數(shù)的單調(diào)性要利用定義：任意取值—作差—變形—定號(hào)下結(jié)論，在作差變形后得到的時(shí)對(duì)數(shù)式，再作差比較真數(shù)和1的大小，由于不確定，還需要分兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031006130321223223/SYS201503100613198535786772_DA/SYS201503100613198535786772_DA.011.png">，所以，由題意，所以，又時(shí)，解得，由（2）知函數(shù)在上為減函數(shù)，要滿足的值域是，需要時(shí),，所以即.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031006130321223223/SYS201503100613198535786772_DA/SYS201503100613198535786772_DA.025.png">是奇函數(shù)，即，

所以對(duì)定義域內(nèi)的一切都成立，所以，

又當(dāng)時(shí)，無意義，故

由（1）得，，任意取且，

則.

由于

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031006130321223223/SYS201503100613198535786772_DA/SYS201503100613198535786772_DA.037.png">，所以，

所以

所以當(dāng)時(shí) ，；當(dāng)時(shí)，.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)

（3）由得中.又得

令，則,解得.所以.

當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上是減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí),.由題意知,.

綜上所述

考點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)的單調(diào)性