Question

已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動直線垂
直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）當(dāng)P不在軸上時，在曲線上是否存在兩個不同點(diǎn)C、D關(guān)于對稱，若存在，
求出的斜率范圍，若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）；
（3）在曲線上不存在兩個不同點(diǎn)C、D關(guān)于對稱

本試題主要是考查了橢圓的方程求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)和直線與圓相切得到橢圓的方程。
（2）∵M(jìn)P=MF₂，
∴動點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，
∴動點(diǎn)M的軌跡是C為l₁準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線可知結(jié)論。
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用對稱性來分析證明不存在符合題意的結(jié)論。
解：（Ⅰ）∵  
∵直線相切，
∴  ∴ 
∵橢圓C₁的方程是    
（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF₂，
∴動點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，
∴動點(diǎn)M的軌跡是C為l₁準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線 ………………6分
∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為   …………7分
（3）顯然不與軸垂直，設(shè) (,)， (,)，且≠，則 =．
若存在C、D關(guān)于對稱，則=-   ∵≠0，∴≠0
設(shè)線段的中點(diǎn)為,則=(+)=,=，
將代入方程求得：=-( -)=(-)
∵-=-≠1∴ ≠()= ∴線段的中點(diǎn)不在直線上．所以在曲線上不存在兩個不同點(diǎn)C、D關(guān)于對稱