【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)的離心率為 ,坐標(biāo)原點(diǎn)O到過(guò)點(diǎn)A(0,﹣b)和B(a,0)的直線的距離為 .又直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)C,D.且C,D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)求△ABC面積的取值范圍.
【答案】
(1)解:由橢圓 =1(a>b>0)的焦點(diǎn)在x軸上,
離心率e= = ,即2a2=3c2,
由題意可知:由△AOB的面積S= ab= ,整理得:a2b2= (a2+b2),
a2=b2+c2,
解得:a2=3,b2=1,c2=1,
∴橢圓的方程
(2)解:由(1)可知: ,消去y整理得:(1+3k2)x2+6kmx+3m2﹣3=0,
△=36km﹣4(1+3k2)(3m2﹣3)>0,解得:3k2>m2﹣1,
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2).CD的中點(diǎn)為P(x0,y0),
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
則y1+y2=k(x1+x2)+2m= ,
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:x0=﹣ ,y0= ,
∴P(﹣ , )
依題意,可知AP⊥CD,
∴kAPkCD=﹣1,代入坐標(biāo),整理得:3k2=2m﹣1
由①③以及2m﹣1>0,可解得: <m<2,
由②③,根據(jù)弦長(zhǎng)公式可知:丨CD丨= 丨x1﹣x2丨= =
點(diǎn)A到CD的距離d= ,
∴S△ACD= d丨CD丨= ,且 <m<2,
令f(x)=x+ ﹣x2( <x<2),
求導(dǎo)得′(x)=﹣ ﹣2x<0,
∴f(x)在( ,2)上單調(diào)遞減,
∴S△ACD∈(0, ).
△ABC面積的取值范圍(0, ).
【解析】(1)由橢圓 =1(a>b>0)的焦點(diǎn)在x軸上,則離心率e= = ,即2a2=3c2 , 根據(jù)三角形面積相等,求得a2b2= (a2+b2),由a2=b2+c2 , 即可求得a和b的值,求得橢圓的方程;(2)將直線方程代入橢圓方程,由△>0,求得3k2>m2﹣1,根據(jù)韋達(dá)定理可知:x1+x2=﹣ ,x1x2= ,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求得P點(diǎn)坐標(biāo),由kAPkCD=﹣1,即可求得3k2=2m﹣1,代入,由弦長(zhǎng)公式可知:丨CD丨= 丨x1﹣x2丨,點(diǎn)A到CD的距離d= ,則S△ACD= d丨CD丨=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)y=loga(x+2)﹣1(a>0,a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,則 + 的最小值為( )
A.3+2
B.3+2
C.7
D.11
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某客運(yùn)公司用A,B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù),每車每天往返一次.A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車的客運(yùn)車隊(duì),并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不少于900人運(yùn)完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小,那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x﹣2)﹣ ,(a為常數(shù)且a≠0),若f(x)在x0處取得極值,且x0[e+2,e2+2],而f(x)≥0在[e+2,e2+2]上恒成立,則a的取值范圍( )
A.a≥e4+2e2
B.a>e2+2e
C.a≥e2+2e
D.a>e4+2e2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若方程f(x)=a有四個(gè)不同的解x1 , x2 , x3 , x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 則x3(x1+x2)+ 的取值范圍是( )
A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知α為△ABC的內(nèi)角,且tanα=﹣ ,計(jì)算:
(1) ;
(2)sin( +α)﹣cos( ﹣α).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì),其中三級(jí)跳遠(yuǎn)的成績(jī)?cè)?.0米(四舍五入,精確到0.1米)以上的進(jìn)入決賽,把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后,分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖),已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小組的頻數(shù)是7.
(Ⅰ)求進(jìn)入決賽的人數(shù);
(Ⅱ)若從該校學(xué)生(人數(shù)很多)中隨機(jī)抽取兩名,記X表示兩人中進(jìn)入決賽的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后發(fā)現(xiàn),甲成績(jī)均勻分布在8~10米之間,乙成績(jī)均勻分布在9.5~10.5米之間,現(xiàn)甲,乙各跳一次,求甲比乙遠(yuǎn)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間[﹣1,1]上單調(diào)遞減的是( )
A.y=sinx
B.a<b
C.
D.
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【題目】已知f(x)=( )2(x>1)
(1)求f(x)的反函數(shù)及其定義域;
(2)若不等式(1﹣ )f﹣1(x)>a(a﹣ )對(duì)區(qū)間x∈[ , ]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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