Question

已知冪函數f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)
（1）若f（x）為偶函數，且在（0，+∞）上是增函數，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，+∞）上是減函數，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據冪函數f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)在（0，+∞）上是增函數，可以得到

3

2

+k-

1

2

k2＞0，再根據f（x）為偶函數，即可求得k的值，從而求得f（x）的解析式；
（2）根據f（x）在（0，+∞）上是減函數，可以得到

3

2

+k-

1

2

k2＜0，求解即可得到實數k的取值范圍．

解答：解：（1）冪函數f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)，
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴

3

2

+k-

1

2

k2＞0，
解得-1＜k＜3，
又∵k∈Z，
∴k=0，1，2，
∵f（x）為偶函數，
①當k=0時，

3

2

+0-

1

2

×02=

3

2

，f（x）為奇函數，不符合題意；
②當k=1時，

3

2

+1-

1

2

×12=2，f（x）為偶函數，符合題意；
③當k=2時，

3

2

+2-

1

2

×22=

3

2

，f（x）為奇函數，不符合題意．
∴k=1，
f（x）=x²；
（2）∵冪函數f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)，
又∵f（x）在（0，+∞）上是減函數，
∴

3

2

+k-

1

2

k2＜0，
解得k＜-1或k＞3（k∈Z），
∴k的取值范圍為{k∈Z|k＜-1或k＞3}．

點評：本題考查了冪函數的單調性、奇偶性及其應用，冪函數的圖象及其與指數的關系，冪函數的性質，函數解析式的求解及常用方法．對于冪函數的問題，關鍵是正確的畫出冪函數的圖象，根據冪函數在第一象限的圖形，結合冪函數的定義域、奇偶性，即可畫出冪函數的圖象，應用圖象研究冪函數的性質．對于求函數解析式的方法，一般有：待定系數法，換元法，湊配法，消元法等．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行選擇合適的方法．屬于基礎題．