Question

已知二次函數(shù)f（x）=（x-1）²，直線g（x）=4（x-1），數(shù)列{a_n}滿足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0
（n∈N^*）．（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；（2）設(shè)b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的最值及相應(yīng)的n．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x）和g（x）的解析式化簡，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0），得（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0再用構(gòu)造法求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）根據(jù)f（x）和g（x）的解析式及數(shù)列{a_n}的通項公式化簡b_n，再用二次函數(shù)求極值的方法求出數(shù)列{b_n}的最值及相應(yīng)的n．

解答：解：（1）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，
∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0∴an+1-1=

3

4

(an-1)，a1-1=1數(shù)列a_n-1是首項為1，公比為

3

4

的等比數(shù)列
∴an-1=(

3

4

)n-1，an=(

3

4

)n-1+1
（2）b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）=3[(

3

4

)n-1]2-4(

3

4

)n=3{[(

3

4

)n-1]2-(

3

4

)n-1}
令bn=y，u=(

3

4

)n-1則y=3{(u-

1

2

)2-

1

4

}=3(u-

1

2

)2-

3

4

∵n∈N^*，
∴u的值分別為1，

3

4

，

9

16

，

27

64

，經(jīng)比較

9

16

距

1

2

最近，
∴當(dāng)n=3時，b_n有最小值是-

189

256

，當(dāng)n=1時，b_n有最大值是0．

點評：此題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性強，做題時應(yīng)認真審題，別丟條件．