Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P(2，

3

)滿足：F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸、橢圓C順次相交于點A（2，0）、M、N，且∠NF₂F₁=∠MF₂A，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）解法一：橢圓C的離心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），、F₂（c，0），
又點F₂在線段PF₁的中垂線上，∴F₁F₂=PF₂，∴(2c)2=(

3

)2+(2-c)2
解得c=1，a²=2，b²=1，∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（6分）
解法二：橢圓C的離心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），、F₂（c，0），
設(shè)線段PF₁的中點為D，∵F₁（-c，0），P(2，

3

)，∴D(

2-c

2

，

3

2

)，
又線段PF₁的中垂線過點F₂，∴kPF1•kDF2=-1，即

3

2+c

•

3 2

2-c 2 -c

=-1?c=1，a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（2）由題意，直線l的方程為y=k（x-2），且k≠0，
聯(lián)立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=8（1-2k²）＞0，得-

2

2

＜k＜

2

2

，且k≠0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，（*）
∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且由題意∠NF₂A≠90°，∴kMF2+kNF2=0，
又F₂（1，0），∴

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，即

k(x1-2)

x1-1

+

k(x2-2)

x2-1

=0，
∴2-(

1

x1-1

+

1

x2-1

)=0，整理得2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4=0，
將（*）代入得，

16k2-4

1+2k2

-

24k2

1+2k2

+4=0，知上式恒成立，故直線l的斜率k的取值范圍是(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)． …（12分）