Question

11．關于x的不等式ax²+bx+2＞0的解為$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}）$．
（1）求a，b的值；
（2）求關于x的不等式$\frac{ax+b}{x-2}$≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）由題意知：x=-$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{3}$是方程ax²+bx+2=0的兩根，由韋達定理可解得系數(shù)a，b的值．
（2）根據(jù)分式不等式的解法進行求解即可．

解答 解：（1）∵x的不等式ax²+bx+2＞0的解為$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}）$．
∴x=-$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{3}$是方程ax²+bx+2=0的兩根，且a＜0，
由韋達定理可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{a}}\\{-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，解得a=-12，b=-2．
（2）∵a=-12，b=-2．
∴不等式$\frac{ax+b}{x-2}$≥0等價為$\frac{-12x-2}{x-2}≥0$，
即$\frac{6x+1}{x-2}≤0$，
解得-$\frac{1}{6}$≤x＜2，
即不等式的解集為[-$\frac{1}{6}$，2）．

點評 本題考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法，考查了一元二次方程的根與系數(shù)關系，比較基礎．