已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
1
2
，過F1的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且△MNF2的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)O的兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出這個(gè)定值．
（I）由題意知，4a=8，所以a=2．
因?yàn)?span mathtag="math" >e=
1
2
，
所以
b2
a2
=
a2-c2
a2
=1-e2=
3
4
，
所以b2=3．
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（II）由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)A（x0，x0），B（x0，-x0）．
又A，B兩點(diǎn)在橢圓C上，
所以
x02
4
+
x02
3
=1，x02=
12
7
．
所以點(diǎn)O到直線AB的距離d=
12
7
=
2
21
7
．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
由已知△＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
．
因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．
所以(k2+1)
4m2-12
3+4k2
-
8k2m2
3+4k2
+m2=0．
整理得7m2=12（k2+1），滿足△＞0．
所以點(diǎn)O到直線AB的距離d=
|m|
k2+1
=
12
7
=
2
21
7
為定值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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