Question

已知函數(shù)f(x)=ex-

x2

2

-ax-1，其中a為實數(shù)．
（1）當(dāng)a=-

1

2

時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥

1

2

時，若關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=-

1

2

代入函數(shù)解析式，求出f（1），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），由點斜式寫出切線方程；
（2）把不等式f（x）≥0恒成立轉(zhuǎn)化為a≤

ex- x2 2 -1

x

恒成立．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)=

ex- x2 2 -1

x

的最小值，則a小于等于函數(shù)g（x）的最小值，答案可求．

解答：解：（1）當(dāng)a=-

1

2

時，f(x)=ex-

x2

2

+

1

2

x-1，f（1）=e-1，
f′(x)=ex-x+

1

2

，f′(1)=e-

1

2

．
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y-e+1=(e-

1

2

)（x-1），
即(e-

1

2

)x-y-

1

2

=0；
（2）由f（x）≥0，得ax≤ex-

x2

2

-1，
∵x≥

1

2

，∴a≤

ex- x2 2 -1

x

．
令g(x)=

ex- x2 2 -1

x

，則g′(x)=

(ex-x)x-(ex- x2 2 -1)

x2

=

ex(x-1)- x2 2 +1

x2

．
令h（x）=ex(x-1)-

x2

2

+1，則h′（x）=x（e^x-1）．
∵x≥

1

2

，∴h′（x）＞0，即h（x）在[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）≥h（

1

2

）=

7

8

-

e

2

＞0．
∴g′（x）＞0．故g（x）在[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
則g（x）≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

．
∴a的取值范圍是(-∞，2

e

-

9

4

]．

點評：本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法，是難題．