Question

若函數(shù)f（x），g（x）滿足 g（x-y）=g（x）g（y）+f（x）f（y），并且f（0）=0，f（-1）=-1，f（1）=1．
（1）證明：f²（x）+g²（x）=g（0）．
（2）求g（0），g（1），g（-1），g（2）的值．
（3）判斷f（x），g（x）的奇偶性．

Answer 1

（1）證明：令y=x，g（0）=f²（x）+g²（x）；
（2）∵g（0）=g²（0）+f²（0），
∴g（0）=0或1；
若g（0）=0，則由（1）可知f（x）=g（x）=0，與題設(shè)矛盾，
故g（0）=1．
又g（0）=g（1）g（1）+f（1）f（1），
g（0）=g（-1）g（-1）+f（-1）f（-1），
故g（1）=0，g（-1）=0，令x=1，y=-1，
g（2）=g（1）g（-1）+f（1）f（-1），g（2）=-1．
（3）g（y-x）=g（y）g（x）+f（y）f（x）=g（x-y），
故g（x）是偶函數(shù)；
用-x，-y 替換x，y，g（y-x）=g（-x）g（-y）+f（-x）f（-y），g（x）是偶函數(shù)，
與原式聯(lián)立可得f（-x）f（-y）=f（x）f（y），令y=1，可得f（x）=-f（-x）．
∴f（x）是奇函數(shù)．
分析：（1）證明：令y=x即可證得結(jié)論；
（2）由g（0）=g²（0）+f²（0），f（0）=0可求得g（0）=1或0（舍），繼而可得g（1），g（-1），再令x=1，y=-1，可求得g（2）的值；
（3）利用g（y-x）=g（y）g（x）+f（y）f（x）=g（x-y），可判斷g（x）的奇偶性；用-x，-y 替換x，y可判斷f（x）的奇偶性．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法，考查轉(zhuǎn)化思想與推理運算能力，屬于中檔題．