Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F₁（-4，0），直線l：x=-2，動(dòng)點(diǎn)M到F₁的距離是它到定直線l距離的

2

倍．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線為E．
（1）求曲線E的軌跡方程．
（2）設(shè)點(diǎn)F₂（4，0），若直線m為曲線E的任意一條切線，且點(diǎn)F₁、F₂到m的距離分別為d₁，d₂，試判斷d₁d₂是否為常數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由題意，設(shè)點(diǎn)M（x，y），則有|MF1|=

(x+4)2+y2

，點(diǎn)M（x，y）到直線的距離d=|x-（-2）|=|x+2|，故

(x+4)2+y2

=

2

|x+2|，化簡(jiǎn)后得：x²-y²=8．
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x²-y²=8
（2）d₁d₂是常數(shù)，證明如下：
若切線m斜率不存在，則切線方程為x=±2

2

，此時(shí)d1d2=(c+a)(c-a)=b2=8
當(dāng)切線m斜率存在時(shí)，設(shè)切線m：y=kx+b，代入x²-y²=8，整理得：x²-（kx+b）²=8，
∴（1-k²）x²-2bkx-（b²+8）=0
由△=（-2bk）²+4（1-k²）（b²+8）=0，化簡(jiǎn)得：b²=8k²-8
又由m：kx-y+b=0，∴d1=

|-4k+b|

k2+1

，  d2=

|4k+b|

k2+1

，
∴d1d2=

|16k2-b2|

k2+1

=

|16k2-(8k2-8)|

k2+1

=8=常數(shù)．
綜上，故對(duì)任意切線m，d₁d₂是常數(shù)