Question

12．傳統(tǒng)文化就是文明演化而匯集成的一種反映民族特質(zhì)和風(fēng)貌的民族文化，是民族歷史上各種思想文化、觀念形態(tài)的總體表征．教育部考試中心確定了2017年普通高考部分學(xué)科更注重傳統(tǒng)文化考核．某校為了了解高二年級(jí)中國數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化選修課的教學(xué)效果，進(jìn)行了一次階段檢測(cè)，并從中隨機(jī)抽取80名同學(xué)的成績，然后就其成績分為A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

成績	人數(shù)
A	9
B	12
C	31
D	22
E	6

根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，視頻率為概率．
（1）若該校高二年級(jí)共有1000名學(xué)生，試估算該校高二年級(jí)學(xué)生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)；
（2）若等級(jí)A、B、C、D、E分別對(duì)應(yīng)100分、80分、60分、40分、20分，學(xué)校要求“平均分達(dá)60分以上”為“教學(xué)達(dá)標(biāo)”，請(qǐng)問該校高二年級(jí)此階段教學(xué)是否達(dá)標(biāo)？
（3）為更深入了解教學(xué)情況，將成績等級(jí)為A、B的學(xué)生中，按分層抽樣抽取7人，再從中任意抽取3名，求抽到成績?yōu)锳的人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由于這80人中，有12名學(xué)生成績等級(jí)為B，所以可以估計(jì)該校學(xué)生獲得成績等級(jí)為B的概率為$\frac{12}{80}$，即可得出該校高二年級(jí)學(xué)生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)．
（2）由于這80名學(xué)生成績的平均分為：$\frac{1}{80}$（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）．
（3）成績?yōu)锳、B的同學(xué)分別有9人，12人，所以按分層抽樣抽取7人中成績?yōu)锳的有3人，成績?yōu)锽的有4人．由題意可得：P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{7}^{3}}$，k=0，1，2，3．

解答 解：（1）由于這80人中，有12名學(xué)生成績等級(jí)為B，
所以可以估計(jì)該校學(xué)生獲得成績等級(jí)為B的概率為$\frac{12}{80}=\frac{3}{20}$．…（2分）
則該校高二年級(jí)學(xué)生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)約有1000×$\frac{3}{20}$=150．…（3分）
（2）由于這80名學(xué)生成績的平均分為：
$\frac{1}{80}$（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…（4分）
且59＜60，因此該校高二年級(jí)此階段教學(xué)未達(dá)標(biāo)…（6分）
（3）成績?yōu)锳、B的同學(xué)分別有9人，12人，
所以按分層抽樣抽取7人中成績?yōu)锳的有3人，成績?yōu)锽的有4人…（7分）
則由題意可得：P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{7}^{3}}$，k=0，1，2，3．
∴P（X=0）=$\frac{4}{35}$，P（X=1）=$\frac{18}{35}$，P（X=2）=$\frac{12}{35}$，P（X=3）=$\frac{1}{35}$.10分）
所以EX=0+1×$\frac{18}{35}$+2×$\frac{12}{35}$+3×$\frac{1}{35}$=$\frac{9}{7}$.10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平均數(shù)、分層抽樣、超幾何分布列概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．