Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a=1時，求函數(shù)f（x）+2x的極值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在x∈（1，+∞）時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，由此根據(jù)a的取值范圍分類討論，利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+2x，當a=1時，g（x）=

1

x

+lnx+2x，x＞0.g′(x)=-

1

x2

+

1

x

+2=

(2x-1)(x+1)

x2

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）+2x的極值．
（Ⅲ） f（x）＜x²等價于x2-

a

x

-lnx＞0，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，…（1分）
①當a＜0時，∵x＞0，∴f′（x）≥0恒成立，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
②當a＞0時，∵x＞0，∴令f′（x）＞0，得x＞a；令f′（x）＜0，得x＜a．
∴f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增．…（3分）
綜上所述：
當a≤0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+2x，當a=1時，g（x）=

1

x

+lnx+2x，x＞0．
g′(x)=-

1

x2

+

1

x

+2=

2x2+x-1

x2

=

(2x-1)(x+1)

x2

，…（5分）
令g′（x）=0，得x=

1

2

或x=-1（舍），
當0＜x＜

1

2

時，g′（x）0．…（7分）
所以，當x=

1

2

時，g（x）取極小值為g（

1

2

）=3-ln2，g（x）無極大值．…（8分）
（Ⅲ） f（x）＜x²等價于x2-

a

x

-lnx＞0，
∵x∈（1，+∞），∴a＜x³-xlnx．…（9分）
令h（x）=x³-xlnx，則k（x）=h′（x）=3x²-lnx-1，
k′(x)=6x-

1

x

=

6x2-1

x

，
∵x∈[1，+∞）時，k′（x）＞0，
∵k（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴k（x）＞k（1）=2，…（12分）
∴h′（x）＞0，∴h（x）=x³-xlnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵x∈（1，+∞），∴h（x）＞h（1）=1，
∴a≤1． …（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及化歸思想等．