（2013•濟(jì)寧二模）定義在（0，
π
2
）上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，則（　�。�
分析：把給出的等式變形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=
f(x)
sinx
，由其導(dǎo)函數(shù)的符號得到其在（0，
π
2
）上為增函數(shù)，則g（
π
6
）＜g（
π
3
），整理后即可得到答案．
解答：解：因?yàn)閤∈（0，
π
2
），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=
f(x)
sinx
，x∈（0，
π
2
），則g′（x）=
f′(x)sinx-f(x)cosx
sin2x
＞0．
所以函數(shù)g（x）=
f(x)
sinx
在x∈（0，
π
2
）上為增函數(shù)，
則g（
π
6
）＜g（
π
3
），即
f(
π
6
)
sin
π
6
＜
f(
π
3
)
sin
π
3
，所以
f(
π
6
)
1
2
＜
f(
π
3
)
3
2
，
即
3
f（
π
6
）＜f（
π
3
）．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了利用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，屬中檔題型．
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2
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1
c
+
9
a
的最小值為（　�。�

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