Question

設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對于定義域內(nèi)任意x₁，x₂（x₁≠x₂），均有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′（

x1+x2

2

）恒成立，則稱f（x）為“恒均變函數(shù)”．給出下列函數(shù)：
①f（x）=e^x；  
②f（x）=2x+1；  
③f（x）=x²-2x+1； 
④f（x）=

1

x

；  
⑤f（x）=lnx．
其中為“恒均變函數(shù)”的所有序號為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的圖象

專題：新定義

分析：對于所給的每一個函數(shù)，分別計算

f(x1)-f(x2)

x1-x2

和f′（

x1+x2

2

）的值，檢驗二者是否相等，從而根據(jù)恒均變函數(shù)”的定義，做出判斷．

解答： 解：對于①f（x）=e^x ，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

ex1-ex2

x1-x2

，f′（

x1+x2

2

）=e

x1+x2

2

，
顯然不滿足，故不是恒均變函數(shù)．
對于②f（x）=2x+1，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=2，f′（

x1+x2

2

）=2，
滿足，為恒均變函數(shù)，
對于③f（x）=x²-2x+1，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=x₁+x₂-2f′（

x1+x2

2

）=x₁+x₂-2，
滿足，為恒均變函數(shù)，
對于④f（x）=

1

x

，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

-1

x1x2

f′（

x1+x2

2

）=

4

(x1+x2)2

，
顯然不滿足，故不是恒均變函數(shù)．
對于⑤f（x）=lnx，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

f′（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

，
顯然不滿足，故不是恒均變函數(shù)．
故答案為：②③

點評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算，“恒均變函數(shù)”的定義，判斷命題的真假，屬于基礎(chǔ)題．