Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列{b_n}的第二、三、四項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令數(shù)列{c_n}滿足：c_n=

(an(n為奇數(shù))) (bn(n為偶數(shù))

，求數(shù)列{c_n}的前101項(xiàng)之和T₁₀₁；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)任意n∈N^*，均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

(cn)

(bn)

=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0），
解得d，a₁，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a_n，進(jìn)而可求b₂=3，b₃=9，q=3，b₁=1，b_n=3^n-1
（2）運(yùn)用分組求和，分別用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和代入可求數(shù)列{C_n}的前101項(xiàng)的和
（3）由

c1

b1

+ 

c2

b2

+…+

cn

bn

= 2n-1
       

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=2n-3
兩式相減可得c_n，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求c₁+c₂+…+c₂₀₁₀的值．

解答：解：（1）由題意得：（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
解得d=2，∴a_n=2n-1．∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9∴b_n=3^n-1
（2）∵a₁₀₁=201，b₂=3
∴T₁₀₁=（a₁+a₃…+a₁₀₁）+（b₂+b₄+…+b₁₀₀）
=

51(a1+a101)

2

+

3(1-950)

1-9

=5151+

3(950-1)

8

（3）當(dāng)n≥2時(shí)，由

(cn)

(bn)

=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

(cn)

(bn)

-（

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

）=a_n+1-a_n=2

cn

bn

= (

c1

b1

+ 

c2

b2

+ …+ 

cn

bn

)-(

c1

b1

+…+

cn-1

bn-1

)
得c_n=2b_n=2•3ⁿ-¹，
當(dāng)n=1時(shí)，

c1

b1

=a₂=3，c₁=3．
故c_n=

3，n=1 2•3n-1，n≥2

故c₁+c₂+…+c₂₀₁₀=3+2×3+2×3²++2×3²⁰⁰⁹=3²⁰¹⁰．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列的綜合試題，綜合考查了由基本量求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，的求解，分組求和及由和求項(xiàng)的方法，綜合性較強(qiáng)．