Question

15．如圖，棱長為3的正方體的頂點A在平面α上，三條棱AB、AC、AD都在平面α的同側．若頂點B，C到平面α的距離分別為1，$\sqrt{2}$．建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面α的一個法向量為（x₁，y₁，z₁），頂點D到平面α的距離為h．若x₁=1，則y₁+z₁+h=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 在正方體的8個頂點中，有關系的只有4個（其他頂點可不予理會），這4點組成直角四面體，這是解題的關鍵，
所以最終歸結為：已知直角四面體的3個頂點A，B，C到平面α的距離依次為0，1，$\sqrt{2}$由此求出頂點D到平面α的距離和平面α的法向量．

解答 解：如圖所示，

連結BC、CD、BD，則四面體A-BCD為直角四面體；
作平面α的法線AH，作BB₁⊥平面α于B₁，CC₁⊥平面α于C₁，DD₁⊥平面α于D₁；
連結AB₁，AC₁，AD₁，令AH=h，DA=a，DB=b，DC=c，
由等體積可得$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$，
令∠BAB₁=α，∠CAC₁=γ，∠DAD₁=β，
可得sin²α+sin²β+sin²γ=1，
設DD₁=m，∵BB₁=1，CC₁=$\sqrt{2}$
∴$（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}$=1，
解得m=$\sqrt{6}$；即所求點D到平面α的距離為$\sqrt{6}$．
又α的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁）=（hcos（$\frac{π}{2}$-α），hcos（$\frac{π}{2}$-γ），hcos（$\frac{π}{2}$-β））=（hsinα，hsinγ，hsinβ），
由hsinα=1，得hsinγ=$\sqrt{2}$，hsinβ=$\sqrt{6}$
∴$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$）．
∴y₁+z₁+h=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．
故答案為$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查了點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于創(chuàng)新題，難度大．