已知函數(shù)f（x）=loga（a-ax）且a＞1，
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性；
（3）證明函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱．
分析：（1）由真數(shù)大于零來求定義域，確定值域；
（2）用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷；
（3）研究其反函數(shù)就是本身．
解答：解析：（1）a-ax＞0
又∵a＞1，
∴x＜1
故其定義域?yàn)椋?∞，1），值域?yàn)椋?∞，1）
（2）設(shè)1＞x2＞x1
∵a＞1，∴ax2＞ax1，于是a-ax2＜a-ax1
則loga（a-ax2）＜loga（a-ax1）
即f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在定義域（-∞，1）上是減函數(shù)
（3）證明：令y=loga（a-ax）（x＜1），則a-ax=ay，x=loga（a-ay）
∴f-1（x）=loga（a-ax）（x＜1）
故f（x）的反函數(shù)是其自身，得函數(shù)f（x）=loga（a-ax）（x＜1=圖象關(guān)于y=x對稱．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)基本性質(zhì)，定義域，值域，單調(diào)性和對稱性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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