Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=2n²（n∈N^*），等比數(shù)列{b_n}滿足：a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3）．
（1）求{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_n=2n²（n∈N^*），再寫(xiě)一式，兩式相減，可得{a_n}的通項(xiàng)公式；利用數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3），即可求得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知c_n=

an

bn

=

2n-1

2n-1

，利用錯(cuò)位相減法，即可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵S_n=2n²（n∈N^*），∴n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，a₁=2也滿足上式
∴a_n=4n-2
∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3）．
∴數(shù)列{b_n}的公比q=

b2

b1

=

an-an-2

a3-a2

=2
∵b₁=a₁=2
∴b_n=2ⁿ；
（2）由（1）知c_n=

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+

3

2

+…+

2n-1

2n-1

①
∴

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

②
①-②可得

1

2

Tn=1+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=3-

2n+1

2n

∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=6-

2n+1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題．