Question

現(xiàn)有正整數(shù)1，2，3，4，5，…n，一質(zhì)點(diǎn)從第一個(gè)數(shù)1出發(fā)順次跳動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的跳動(dòng)步數(shù)通過拋擲骰子來決定：骰子的點(diǎn)數(shù)小于等于4時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向前跳一步；骰子的點(diǎn)數(shù)大于4時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向前跳兩步．
（Ⅰ）若拋擲骰子二次，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的正整數(shù)記為ξ，求Eξ和Dξ；
（Ⅱ）求質(zhì)點(diǎn)恰好到達(dá)正整數(shù)6的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）由于ξ表示拋擲骰子二次，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的正整數(shù)，由題意則ξ的取值有3，4，5，并利用隨機(jī)變量得到定義求出每一個(gè)值下對(duì)應(yīng)的事件的概率，有分布列定義求出其分布列，并根據(jù)期望定義求出期望．
（II）由題意質(zhì)點(diǎn)恰好到達(dá)正整數(shù)6有三種情形，①拋擲骰子五次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)全部小于等于4；②拋擲骰子四次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)三次小于等于4，一次大于4；③拋擲骰子三次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)一次小于等于4，二次大于4．利用獨(dú)立事件的概率公式各自的概率，最后相加即可；

解答： 解：（Ⅰ）ξ的可能取值為3，4，5…（1分）
P(ξ=3)=

2

3

×

2

3

=

4

9

，P（ξ=4）

C

1 2

•

2

3

•

1

3

=

4

9

，P(ξ=5)=

1

3

×

1

3

=

1

9

…（4分）
ξ的分布列為

ξ	3	4	5
P	4 9	4 9	1 9

Eξ=3×

4

9

+4×

4

9

+5×

1

9

=

11

3

Dξ=

4

9

(3-

11

3

)2+

4

9

(4-

11

3

)2+

1

9

(5-

11

3

)2=

4

9

…（7分）
（Ⅱ）質(zhì)點(diǎn)恰好到達(dá)6有三種情形
①拋擲骰子五次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)全部小于等于4，概率P1=(

2

3

)5=

32

243

；…（8分）
②拋擲骰子四次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)三次小于等于4，一次大于4，概率為P2=

C

1 4

(

2

3

)3

1

3

=

32

81

；（9分）
③拋擲骰子三次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)一次小于等于4，二次大于4，概率P3=

C

2 3

(

1

3

)2

2

3

=

2

9

…（10分）
所以P=

32

243

+

32

81

+

2

9

=

182

243

即質(zhì)點(diǎn)恰好到達(dá)正整數(shù)6的概率為

182

243

．    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題重在準(zhǔn)確理解題意，主要考查了獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，隨機(jī)變量的定義及其分布列，并利用隨機(jī)變量的分布列求其期望．