Question

給定有限個正數(shù)滿足條件T：每個數(shù)都不大于50且總和L=1275．現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是：

首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的，r₁稱為第一組余差；

然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時的余差為r₂；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為r₃）、第四組（余差為r₄）、…，直至經(jīng)N組（余差為r_N）把這些數(shù)全部分完為止．

（1）判斷r₁，r₂，…，r_N的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數(shù)；

（2）當(dāng)構(gòu)成第n(n<N)組后，指出余下的每個數(shù)與r_n的大小關(guān)系，并證明；

（3）對任何滿足條件T的有限個正數(shù)，證明：N£11．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）r1£r2£…£rN．除第N組外的每組至少含有個數(shù) （2）當(dāng)?shù)?i>n組形成后，因為n<N，所以還有數(shù)沒分完，這時余下的每個數(shù)必大于差rn，余下數(shù)之和也大于等于n組后的余差rn，即 由此可得r1+r2+…+rn-1>150n-L 因為(n-1)rn-1³r1+r2+…+rn-1，所以 （3）用反證法證明結(jié)論，假設(shè)N>11，即第11組形成后，還有數(shù)沒分完，由（1）和（2）可知，余下的每個數(shù)都大于第11組的余差r11，且r11³r10 故余下的每個數(shù)>r11³r10>　　 （*） 因為第11組數(shù)中至少含有3個數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于37.5´3=112.5 此時第11組的余差r11=150-第11組數(shù)之和<150-112.5=37.5 這與（*）式中r11>37.5矛盾，所以N£11．