Question

給定有限個正數(shù)滿足條件T:每個數(shù)都不大于50且總和L=1 275.現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進行分組,每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是:?

首先,從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組,使得150與這組數(shù)之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的,r₁稱為第一組余差；?

然后,在去掉已選入第一組的數(shù)后,對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組,這時的余差為r₂；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組(余差為r₃)、第四組(余差為r₄)、…,直至第N組(余差為r_n)把這些數(shù)全部分完為止.?

(1)判斷r₁,r₂,…,r_n的大小關(guān)系,并指出除第N組外的每組至少含有幾個數(shù)；?

(2)當構(gòu)成第n(n＜N)組后,指出余下的每個數(shù)與r_n的大小關(guān)系,并證明

(3)對任何滿足條件T的有限個正數(shù),證明N≤11.

Answer 1

解析:(1)r₁≤r₂≤…≤r_n，除第N組外的每組至少含有=3個數(shù).?

(2)當?shù)?I >n組形成后，因為n＜N,所以還有數(shù)沒有分完，這時余下的每個數(shù)必大于余差r_n,余下數(shù)之和也大于第n組的余差r_n,?

即L-［(150-r₁)+(150-r₂)+…+(150-r_n)］＞r_n,?

由此可得r₁+r₂+…+r_n-1＞150n-L.?

因為(n-1)r_n-1≥r₁+r₂+…+r_n-1,?

(3)用反證法證明結(jié)論.假設(shè)N＞11,即第11組形成后，還有數(shù)沒有分完，由(1)和(2)可知余下的每個數(shù)都大于第11組的余差r₁1,且r₁1≥r₁0,?

故余下的每個數(shù)

因為第11組數(shù)中至少含有3個數(shù),?

所以第11組數(shù)之和大于37.5×3=112.5.?

此時,第11組的余差r₁1=150-

第11組數(shù)之和＜150-112.5=37.5,?

這與(*)式中r₁1＞37.5矛盾,?

所以N≤11.