Question

【題目】已知函數(shù)有最大值， ，且是 的導(dǎo)數(shù)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）證明：當(dāng)， 時(shí)， ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）函數(shù)求導(dǎo)，討論函數(shù)單調(diào)性求最值即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增，由且得，由， 單調(diào)遞增，要證，即，只要證，即，所以只要證，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明即可.

試題解析：

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>， ．

當(dāng)時(shí)， ，

在上為單調(diào)遞增函數(shù)，無(wú)最大值，不合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減，

,

,

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,

．

， ,

在上單調(diào)遞增．

又， 且,

．

,

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增,

要證，即，只要證，即．

， ,

所以只要證 ————（*）,

設(shè) （其中）,

,

在（0，1）上為增函數(shù),

，故（*）式成立，從而．