Question

已知函數(shù)f（x）=2asinxcosx+

3

cos²x-

3

sin²x，且f（

π

3

）=0．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-

π

3

，

π

6

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡解析式可得f（x）=asin2x+

3

cos2x，由f（

π

3

）=asin（2×

π

3

）+

3

cos（2×

π

3

）=0，從而解得a=1，可得函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2x+

π

3

），
即可求周期．
（2）由x∈[-

π

3

，

π

6

]，可得2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，即可取得f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2asinxcosx+

3

cos²x-

3

sin²x，
=asin2x+

3

cos2x，
∵f（

π

3

）=asin（2×

π

3

）+

3

cos（2×

π

3

）=0．
∴

3

2

a-

3

2

=0，從而解得a=1．
∴f（x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
（2）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴2sin（2x+

π

3

）∈[-

3

，2]．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．