Question

給定橢圓．稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說明理由．

Answer 1

(1) ； (2) 垂直．

解析試題分析：（1）由“橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為”知：從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．
對于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；
對于②設(shè)經(jīng)過準(zhǔn)圓上點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去得到關(guān)于的方程：
由化簡整理得：
而直線的斜率正是方程的兩個(gè)根，從而
（1）
橢圓方程為
準(zhǔn)圓方程為
（2）①當(dāng)中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b0/6/p0hap2.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)共公點(diǎn)，則其方程為
當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)
此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個(gè)公共瞇的直線是（或）
即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時(shí)，直線也垂直．
②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
則由消去，得

由化簡整理得：
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/87/a/eyu5u1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以有
設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/2e/50/2ec50395dcd0d6e9b27a7ab3666a8790.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)
所以滿足上述方程