Question

（2010•湖北模擬）設(shè)A、B分別是x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，P在直線AB上，且

AP

=

3

2

PB

，|

AB

|=2+

3

．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）已知E上定點(diǎn)K（-2，0）及動(dòng)點(diǎn)M、N滿足

KM

•

KN

=0，試證：直線MN必過x軸上的定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B）．則

AP

=（x-x_A，y），

PB

=（-x，y_B-y）．由

AP

=

3

2

PB

，得x_A=x+

3

2

x，y_B=y+

2

3

y．由|

AB

|=2+

3

，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）設(shè)KM：y=k（x+2）（k≠0）與3x²+4y²-12=0聯(lián)立，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系能夠?qū)С鲋本�MN的方程，令y=0得直線MN必過x軸上的定點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B）．
則

AP

=（x-x_A，y），

PB

=（-x，y_B-y）．
由

AP

=

3

2

PB

，
得x_A=x+

3

2

x，y_B=y+

2

3

y．
由|

AB

|=2+

3

，
得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程．
3x²+4y²-12=0．
可得點(diǎn)P的軌跡E的方程：

x2

4

+

y2

3

=1（5分）
（2）設(shè)KM：y=k（x+2）（k≠0）與3x²+4y²-12=0聯(lián)立
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0
設(shè)M（x₁，y₁），
則x₀+x₁=-

16k2

3+4k2

，x₁=

16k2

3+4k2

+2=

6-8k2

3+4k2

y₁=k（x+2）=

12k

3+4k2

∴M（

6-8k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

）
設(shè)KN：y=-

1

k

（x+2）（k≠0），
同理可得：N（

6k2-8

3k2+4

，-

12k

3k2+4

）（8分）
k_MN=

yM-yN

xM-xN

=-

7k

4(k2-1)

  （k²≠1）（10分）
則MN：y-

12k

3+4k2

=-

7k

4(k2-1)

（x-

6-8k2

3+4k2

）
化簡(jiǎn)可得y=-

7k

4(k2-1)

（x+

2

7

）
即MN過定點(diǎn)（-

2

7

，0），另MN斜率不存在時(shí)，也過（-

2

7

，0）（13分）
∴直線M、N必過定點(diǎn)（-

2

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件，根據(jù)實(shí)際情況注意公式的靈活運(yùn)用．