Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，利用離心率為，橢圓C的長軸長為4．列出方程組求解c，推出b，即可得到橢圓的方程；（2）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．設(shè)點(diǎn)A，B，將直線l的方程代入，化簡，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積為0，轉(zhuǎn)化為．求解即可

試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得，解得，………2分

所以，故所求橢圓C的方程為．…………..4分

（2）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．理由如下：

設(shè)點(diǎn)，，將直線的方程代入，

并整理，得．（*）………………………………….6分

則，．………………………………………8分

因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以，即．

又,于是，…………….10分

解得，………………………………..11分

經(jīng)檢驗(yàn)知：此時（*）式的Δ＞0，符合題意．

所以當(dāng)時，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．………………12分