Question

已知函數(shù)f（x）對定義域（-1，1）內(nèi)任意x，y滿足f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并給出證明；
（2）求證：若x∈（-1，0）時，f（x）＜0，求證f（x）在（-1，1）上是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法先求出f（0）=0，再證出f（x）+f（-x）=f（0）=0，從而得出函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)；
（2）再根據(jù)函數(shù)對應(yīng)法則證出，進而得到x＜y時有f（x）＞f（y），因此函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．

解答： 解（1）函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
證明：將x=0代入條件，得f（0）+f（y）=f（y），所以f（0）=0
再令y=-x代入條件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．　
（2）以-y代替y，代入條件得，
f（x）+f（-y）=f（

x-y

1-xy

）．
結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)得f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）．
當-1＜x＜y＜1時

x-y

1-xy

＜0，結(jié)合已知條件得
∴由x＜y可得f（x）-f（y）＜0，
即f（x）＜f（y），
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

點評：本題給出抽象函數(shù)，驗證函數(shù)的特殊性質(zhì)并討論了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．著重考查了對弈的運算法則、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識，屬于中檔題．利用“賦值法”使抽象函數(shù)問題具體化，是解決這類問題的關(guān)鍵所在．