Question

如圖：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D為AB中點．
（1）求證：AB₁⊥A₁C；
（2）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（3）求C₁到平面A₁CD的距離．

Answer 1

分析：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，所以B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，A₁C⊥B₁C₁，由此能夠證明AB₁⊥A₁C
（2）連接AC₁交A₁C于O點，連接DO，則O為AC₁的中點，由D為AB中點，知DO∥BC₁，由此能夠證明BC₁∥平面A₁CD．
（3）以CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出C₁到平面A₁CD的距離．

解答：（1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C?平面A₁ACC₁，
∴A₁C⊥B₁C₁，
連接AC₁，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C⊥平面AB₁C₁．
所以AB₁⊥A₁C
（2）證明：連接AC₁交A₁C于O點，連接DO，則O為AC₁的中點，
∵D為AB中點，∴DO∥BC₁，
又∵DO?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（3）解：以CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D為AB中點．
∴C（0，0，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），
∴D（1，1，0），

CA1

=（2，0，2），

CD

=（1，1，0），

CC1

=(0，0，2)，
設平面A₁CD的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

CA1

=0，

n

•

CD

=0，
∴

2x+2z=0 x+y=0

，解得

n

=（1，-1，-1），
∴C₁到平面A₁CD的距離d=

| CC1 • n |

| n |

=

|-2|

3

=

2

3

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．