已知△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,角A不是最大角,,外接圓的圓心為O,半徑為2.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求△ABC的周長(zhǎng).

【答案】分析:(Ⅰ)由三角形ABC的外接圓半徑及a的值,利用正弦定理求出sinA的值,再根據(jù)A不是最大角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù),根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍,由A的度數(shù)求出∠BOC的度數(shù),把所求式子利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后,將各種的值代入即可求出值;
(Ⅱ)利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積,把sinA的值代入求出bc的值,然后再利用余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,把a(bǔ)和cosA的值代入,并利用完全平方公式變形后,將bc的值代入求出b+c的值,由a+b+c即可求出三角形的周長(zhǎng).
解答:解:(Ⅰ)∵a=2,R=2,
∴根據(jù)正弦定理得:=2R,即sinA==,
∴∠A=60°或120°,
又∠A不是最大角,
∴0<∠A<90°,
∴∠A=60°,
∴∠BOC=120°,又||=||=2,
=||•||cos∠BOC=2×2×(-)=-2;
(Ⅱ)∵S△ABC=,sinA=
∴S△ABC=bcsinA=bc•=,即bc=4,
∵a=2,cosA=,
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得:b2+c2-bc=12,即(b+c)2-3bc=12,
把bc=4代入得:(b+c)2=3bc+12=24,
∴b+c=2,
則△ABC的周長(zhǎng)l=a+b+c=2+2
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦定理,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,圓周角定理,三角形的面積公式,余弦定理,以及完全平方公式的應(yīng)用,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,AH為BC邊上的高,以下結(jié)論:①
AH
•(
AC
-
AB
)=0

AB
BC
<0⇒△ABC
為鈍角三角形;
AC
AH
|
AH
|
=csinB
;
BC
•(
AC
-
AB
)=a2
,其中正確的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且滿足b+c=
3
a
,設(shè)
m
=[cos(
π
2
+A),-1],
n
=(cosA-
5
4
,-sinA),
m
n
,試求角B的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.
(1)證明:
a+b
2a+b
c
a+c
;
(2)證明:不論x取何值總有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0;
(3)若a>c≥2,證明:
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
1
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c且角A,B、C成等差數(shù)列,△ABC的面積S=
b2-(a-c)2k
,則實(shí)數(shù)k的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=
2
,向量
m
=(-1,1)
n
=(cosBcosC,sinBsinC-
2
2
)
,且
m
n

(Ⅰ)求A的大;
(Ⅱ)當(dāng)sinB+cos(
12
-C)
取得最大值時(shí),求角B的大小和△ABC的面積.

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