Question

已知函數(shù) 

（1）求函數(shù)f(x)的極值；

（2）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）求證.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在處取得極大值f（1）=1 ，無(wú)極小值。

（2）

（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的思想，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到極值。

（2）要證明不等式恒成立，移項(xiàng)，右邊為零，將左邊重新構(gòu)造新的函數(shù)，證明函數(shù)的最小值大于零即可。

（3）在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，放縮法得到求和的不等式關(guān)系。

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011312573299585638/SYS201301131259114646835430_DA.files/image004.png">， x >0，則，…………1分

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在處取得極大值f（1）=1 ，無(wú)極小值。…………3分

（2）不等式即為 記

所以…………7分

令，則，      ，    

在上單調(diào)遞增，   ，從而，

故在上也單調(diào)遞增，   所以，所以 . ……9分

（3）由（2）知：恒成立，即， 

令，則

所以 ,  ，  ，…   …  

，                                 …………12分

疊加得：

 .

則，所以 …………14分

考點(diǎn)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的熟練的運(yùn)用，并能結(jié)合單調(diào)性求解函數(shù)的 極值和最值問(wèn)題。難點(diǎn)是對(duì)于遞進(jìn)關(guān)系的試題，證明不等式，往往要用到上一問(wèn)的結(jié)論。