Question

4．設(shè)a＞0，b＞0，則以下不等式不恒成立的是（　�。�

• A． （a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）≥4
• B． |a-b|+$\frac{1}{a-b}$≥2
• C． $\sqrt{a+3}$-$\sqrt{a+1}$≤$\sqrt{a+2}$-$\sqrt{a}$
• D． $\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt$

Answer 1

分析 直接利用基本不等式判斷選項即可．

解答 解：（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=2+$\frac{a}+\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}×\frac{a}}$=4，當且僅當a=b取取等號．A恒成立．
∵|a-b|+$\frac{1}{|a-b|}$≥2，|a-b|+$\frac{1}{a-b}$≥2不恒成立．B錯誤．
利用分析法證明選項C恒成立．C正確．
當a≥b時，$\sqrt{ab}≥b$，即$2\sqrt{ab}≥2b$，可得a-b$≥a+b-2\sqrt{ab}$，可得$\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt$．
當a＜b時，$\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt$．顯然成立，D正確．
故選：B．

點評 本題考查不等式恒成立，基本都是的應用，不等式的證明方法，考查計算能力．