Question

已知函數f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+4cos2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及最小值；
（Ⅱ）若α∈[0，

π

2

]，且f（α）=3，求α的值．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的正弦函數與倍角的余弦化成一個角的三角函數形式．
（I）根據y=sinx的最小正周期與最值，求解f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2的最小正周期與最小值．
（II）利用f（α）=3，求出sin（2α+

π

4

）=

2

2

，再根據2α+

π

4

的范圍求出2α+

π

4

的值，從而求出α．

解答：解：f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+4cos2x=

2

•sin2x•cos

π

4

-

2

•cos2x•sin

π

4

+4•

1+cos2x

2

=sin2x-cos2x+2cos2x+2=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．
（Ⅰ）函數f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，
函數f（x）的最小值為2-

2

．                                
（Ⅱ）由f（α）=3得

2

sin(2α+

π

4

)+2=3．
所以sin(2α+

π

4

)=

2

2

．
又因為α∈[0，

π

2

]，所以

π

4

≤2α+

π

4

≤

5π

4

，
所以2α+

π

4

=

π

4

或2α+

π

4

=

3π

4

．
所以α=0或α=

π

4

．

點評：本題考查了兩角和與差的正弦函數，倍角的余弦公式，考查了三角函數的最小正周期及最值的求法，解答此類題的關鍵是化簡三角函數為一個角的三角函數形式．