Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和為S_n，若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=a_nlog₂（S_n+2），試求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由an=2n，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S_n=2ⁿ⁺¹-2，可得b_n=a_nlog₂（S_n+2）=（n+1）•2ⁿ，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n選和公式即可得出．

解答： 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8，
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，
解之得a₁=2，q=2或a1=32，q=

1

2

，
又{an}單調(diào)遞增，∴a₁=2，q=2，
∴an=2n
（2）由an=2n，
∴Sn=

2×(1-2n)

1-2

=2n+1-2，
∴Sn+2=2n+1，
∴bn=anlog2(Sn+2)=2n•log22n+1=(n+1)2n．
∴Tn=2×21+3×22+…+n•2n-1+(n+1)•2n，
2Tn=2×22+3×23+…+n•2n+(n+1)•2n+1，
∴-Tn=2×21+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1
=2+（2¹+2²+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+

2×(1-2n)

1-2

-(n+1)•2n+1=-n•2n+1
∴Tn=n•2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．