Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，則該數(shù)列的前16項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=a_2k-1+1，數(shù)列{a_2k-1}為等差數(shù)列，a_2k-1=k；當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=2a_2k，數(shù)列{a_2k}為等比數(shù)列，a2k=2k．分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n和公式即可得出．

解答： 解：當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=a_2k-1+1，數(shù)列{a_2k-1}為等差數(shù)列，a_2k-1=a₁+k-1=k；
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=2a_2k，數(shù)列{a_2k}為等比數(shù)列，a2k=2k．
∴該數(shù)列的前16項(xiàng)和S₁₆=（a₁+a₃+…+a₁₅）+（a₂+a₄+…+a₁₆）
=（1+2+…+8）+（2+2²+…+2⁸）
=

8×(1+8)

2

+

2×(28-1)

2-1

=36+2⁹-2
=546．
故答案為：546．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“分類(lèi)討論方法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．