Question

（1）當x＜

3

2

時，求函數(shù)y=x+

8

2x-3

的最大值；
（2）當0＜x＜

1

2

時，求函數(shù)y=

1

2

x（1-2x）的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由題意可得3-2x＞0，可得y=-（

3-2x

2

+

8

3-2x

）+

3

2

≤-2

3-2x 2 • 8 3-2x

+

3

2

=-

5

2

，注意等號成立的條件即可；
（2）由題意可得1-2x＞0，可得y=

1

4

•2x•（1-2x）≤

1

4

（

2x+1-2x

2

）²=

1

16

，注意等號成立的條件即可．

解答： 解：（1）∵x＜

3

2

∴，2x-3＜0，即3-2x＞0
∴y=x+

8

2x-3

=

1

2

（2x-3）+

8

2x-3

+

3

2

=-（

3-2x

2

+

8

3-2x

）+

3

2

≤-2

3-2x 2 • 8 3-2x

+

3

2

=-

5

2

，
當且僅當

3-2x

2

=

8

3-2x

即x=-

1

2

時取等號，
∴當x＜

3

2

時，求函數(shù)y=x+

8

2x-3

的最大值為-

5

2

；
（2）∵0＜x＜

1

2

，∴1-2x＞0，
∴y=

1

2

x（1-2x）=

1

4

•2x•（1-2x）≤

1

4

（

2x+1-2x

2

）²=

1

16

．
當且即當2x=1-2x即x=

1

4

時取等號，
∴當0＜x＜

1

2

時，求函數(shù)y=

1

2

x（1-2x）的最大值為

1

16

點評：本題考查基本不等式，湊出基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．