【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,,,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足:直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積恒為,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).
(1)求曲線(xiàn)的方程;
(2)若點(diǎn)位于第一象限,過(guò)點(diǎn),分別作直線(xiàn),直線(xiàn),直線(xiàn),交于點(diǎn).
①若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,求點(diǎn)的坐標(biāo);
②直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn),且,求的取值范圍.
【答案】(1)(2)①點(diǎn)的坐標(biāo)為②
【解析】
(1)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)斜率公式,結(jié)合已知可以直接得到曲線(xiàn)的方程;
(2)①設(shè)直線(xiàn)的方程根據(jù)已知,可以得到的直線(xiàn)方程,解方程組求出的坐標(biāo),再判斷已知的兩直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn),最后求出的坐標(biāo);
②直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程聯(lián)立,根據(jù)所給的向量式子,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系最后可以求出的取值范圍.
解析:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),由
.
(2)①設(shè)直線(xiàn):,
由位于第一象限得,
則由,
知,
聯(lián)立,
由題易得直線(xiàn)和的方程分別為::,:.
解得其交點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,解得,
∵,∴.
由此可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.
②聯(lián)立,,
由根與系數(shù)的關(guān)系有.
由
.
因?yàn)?/span>.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在半徑為的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐,它的底面三個(gè)頂點(diǎn)恰好都在同一個(gè)大圓上,一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)其余三點(diǎn)后返回,則經(jīng)過(guò)的最短路程是________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在橢圓上E:(),點(diǎn)為平面上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)取最小值時(shí),求橢圓E的方程;
(2)對(duì)(1)中的橢圓E,P為其上一點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)S和T,且滿(mǎn)足(),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn).
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;
(2)若,點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步優(yōu)化教育質(zhì)量平臺(tái),更好的服務(wù)全體師生,七天網(wǎng)絡(luò)從甲、乙兩所學(xué)校各隨機(jī)抽取100名考生的某次“四省八校”數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析,分別繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
為了更好的測(cè)評(píng)各個(gè)學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)質(zhì)量,該公司依據(jù)每一位考生的數(shù)學(xué)測(cè)試分?jǐn)?shù)將其劃分為“,,”三個(gè)不同的等級(jí),并按照不同的等級(jí),設(shè)置相應(yīng)的對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量貢獻(xiàn)的積分,如下表所示.
測(cè)試分?jǐn)?shù)的范圍 | 分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí) | 貢獻(xiàn)的積分 |
等 | 1分 | |
等 | 2分 | |
等 | 3分 |
(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布,若將甲學(xué)校考生的數(shù)學(xué)測(cè)試等級(jí)劃分為“等”和“非等”兩種,利用分層抽樣抽取10名考生,再?gòu)倪@10人隨機(jī)抽取3人,求3人中至少1人數(shù)學(xué)測(cè)試為“等”的概率;
(2)視頻率分布直方圖中的頻率為概率,用樣本估計(jì)總體,若從乙學(xué)校全體考生中隨機(jī)抽取3人,記3人中數(shù)學(xué)測(cè)試等級(jí)為“等”的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)根據(jù)考生的數(shù)學(xué)測(cè)試分?jǐn)?shù)對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量貢獻(xiàn)的積分規(guī)則,分別記甲乙兩所學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科質(zhì)量的人均積分為和,用樣本估計(jì)總體,求和的估計(jì)值,并以此分析,你認(rèn)為哪所學(xué)校本次數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量更加出色?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的“切比雪夫距離”,記作,給出四個(gè)命題,正確的是________.
①對(duì)任意三點(diǎn)、、,都有;
② 到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形;
③ 已知點(diǎn)和直線(xiàn),則;
④ 定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,則點(diǎn)的軌跡與直線(xiàn)(為常數(shù))有且僅有個(gè)公共點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知、、、是同一平面上不共線(xiàn)的四點(diǎn),若存在一組正實(shí)數(shù)、、,使得,則三個(gè)角、、( )
A. 都是鈍角B. 至少有兩個(gè)鈍角
C. 恰有兩個(gè)鈍角D. 至多有兩個(gè)鈍角
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(為正常數(shù)),且函數(shù)與的圖像在軸上的截距相等;
(1)求的值;
(2)若(為常數(shù)),試討論函數(shù)的奇偶性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合(,且),若存在非空集合,使得,且,并任意,都有,則稱(chēng)集合S具有性質(zhì)P,稱(chēng)為集合S的P子集.
(1)當(dāng)時(shí),試說(shuō)明集合S具有性質(zhì)P,并寫(xiě)出相應(yīng)的P子集;
(2)若集合S具有性質(zhì)P,集合T是集合S的一個(gè)P子集,設(shè),求證:任意,,都有;
(3)求證:對(duì)任意正整數(shù),集合S具有性質(zhì)P.
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