Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OP⊥底面ABCD，OP=

3

，E，F(xiàn)分別為BC，AP的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求直線EF與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點(diǎn)G，連接FG，CG，由三角形中位線定理及平行四邊形性質(zhì)，可得EF∥CG，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到答案．
（2）取OA中點(diǎn)N，連接FN，EN，可得∠FEN即為直線EF與平面ABCD所成角，解三角形可得答案．

解答：解：（1）取PD的中點(diǎn)G，連接FG，CG，
∵FG為△PAD的中位線
∴FG∥AD且，F(xiàn)G=

1

2

AD
在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，又由E為BC的中點(diǎn)
∴CE∥AD且，CE=

1

2

AD
∴CE∥FG且，CE=FG
∴四邊形EFCG為平行四邊形
∴EF∥CG
又∵EF?平面PCD，CG?平面PCD
∴EF∥平面PCD；
（2）取OA中點(diǎn)N，連接FN，EN，
∵F為PA的中點(diǎn)，故FN∥PO，
∵OP⊥底面ABCD，
∴FN⊥底面ABCD，
∴∠FEN即為直線EF與平面ABCD所成角，
在△EFN中，F(xiàn)N=

1

2

OP=

3

2

，NE=

13

2

，EF=2
由余弦定理得：cos∠FEN=

13

4

即直線EF與平面ABCD所成角的余弦值為

13

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，線面夾角，其中（1）的關(guān)鍵是要在平面內(nèi)找到一條可能與EF平行的直線；（2）的關(guān)鍵是找出線面夾角的平面角．