Question

等差數(shù)列{a_n}的公差d不為零，首項(xiàng)a₁=1，a₂是a₁和a₅的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n
（2）證明數(shù)列{2an}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)第二項(xiàng)是第一第五項(xiàng)的比例中項(xiàng)求出公差，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．
（2）利用等比數(shù)列的定義可證；
（3）對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，再進(jìn)行求和即可．

解答：（1）解：由題意知，∵a₂是a₁和a₅的等比中項(xiàng)
∴（a₁+d）²=a₁（a1+4d），
即a₁²+2a₁d+d²=a₁²++4a₁d，
∴d=2a₁=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，Sn=n×1+

n(n-1)

2

×2=n2
（2）證明：∵

2an

2an-1

=2an-an-1=2d=4
∴數(shù)列{2an}為等比數(shù)列；
（3）解：

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和T_n=

1

2

{(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)與求和，解題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義，利用裂項(xiàng)法求和．