如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)起開始,每一項(xiàng)的平方與它前一項(xiàng)的平方的差都是同一個(gè)常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公方差.
(1)若數(shù)列{bn}是等方差數(shù)列,b1=1,b2=3,求b7;
(2)是否存在一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列或等比數(shù)列,同時(shí)也是等方差數(shù)列?若存在,求出這個(gè)數(shù)列;若不存在,說明理由.
(3)若正項(xiàng)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公方差為4的等方差數(shù)列,數(shù)列{
1
an
}
的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在正整數(shù)p,q,使不等式Tn
pn+q
-1
對一切n∈N*都成立?若存在,求出p,q的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)利用等方差數(shù)列的定義求出公方差,即可求得b7的值;
(2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)an=an+b(a,b∈R),利用{an}也是等方差數(shù)列,應(yīng)有an2-an-12=k(k為與n無關(guān)的常數(shù)),從而可得an=b必為一常數(shù)數(shù)列;若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,利用{an}也是等方差數(shù)列,應(yīng)有an2-an-12=k(k為與n無關(guān)的常數(shù)),可得q=±1,再驗(yàn)證即可;
(3)先求數(shù)列{
1
an
}
的前n項(xiàng)和,再假設(shè)存在正整數(shù)p,q,使不等式Tn
pn+q
-1
對一切n∈N*都成立,猜想p=q=1,再進(jìn)行證明.
解答:解:(1)由{bn}是等方差數(shù)列,b1=1,b2=3,有公方差d=32-12=8,------(1分)
于是b72=1+(7-1)×8=49,∴b7=±7------------------------------(3分)
(2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)an=an+b(a,b∈R),則an2=a2n2+2abn+b2,
要使{an}也是等方差數(shù)列,應(yīng)有an2-an-12=k(k為與n無關(guān)的常數(shù)),得a2=0,即a=0,這時(shí)an=b必為一常數(shù)數(shù)列,因此不存在一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列,同時(shí)也是等方差數(shù)列.-----(5分)
若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,設(shè)an=a1qn-1(q為公比且q≠0),則an2=a12q2n-2,
要使{an}也是等方差數(shù)列,應(yīng)有an2-an-12=k(k為與n無關(guān)的常數(shù)),即a12q2n-2-a12q2n-4=a12q2n-4(q2-1)=k,所以必有q2=1,q=±1,----------(7分)
當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列{an}是常數(shù)數(shù)列,故舍去
當(dāng)q=-1時(shí),所以存在一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等比數(shù)列,同時(shí)也是等方差數(shù)列,其公比q=-1.--(9分)
(3)由于{an}是首項(xiàng)為2,公方差為4的等方差數(shù)列,∴an2=a12+(n-1)d=4+4(n-1)=4n,
an=2
n
,------(10分)
∴數(shù)列{
1
an
}
的前n項(xiàng)和為:Tn=
1
2
(
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)
---(11分)
假設(shè)存在正整數(shù)p,q使不等式
1
2
(
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)>
pn+q
-1
對一切n∈N*都成立.
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>2(
pn+q
-1)

當(dāng)n=1時(shí),1>2(
p+q
-1)
,∴p+q<
9
4
,又p,q為正整數(shù),∴p=q=1.--(13分)
下證明:
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>2(
n+1
-1)
對一切n∈N*都成立.
由于
1
n
=
2
n
+
n
2
n+1
+
n
=2(
n+1
-
n
)(n∈N*)

所以
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>2[(
2
-1)+(
3
-
2
)+…+(
n+1
-
n
)]=2(
n+1
-1)
.(16分)
點(diǎn)評:本題考查新定義,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確理解新定義是關(guān)鍵.
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給定一個(gè)n項(xiàng)的實(shí)數(shù)列a1,a2,…,an(n∈N*),任意選取一個(gè)實(shí)數(shù)c,變換T(c)將數(shù)列a1,a2,…,an變換為數(shù)列|a1-c|,|a2-c|,…,|an-c|,再將得到的數(shù)列繼續(xù)實(shí)施這樣的變換,這樣的變換可以連續(xù)進(jìn)行多次,并且每次所選擇的實(shí)數(shù)c可以不相同,第k(k∈N*)次變換記為Tk(ck),其中ck為第k次變換時(shí)選擇的實(shí)數(shù).如果通過k次變換后,數(shù)列中的各項(xiàng)均為0,則稱T1(c1),T2(c2),…,Tk(ck)為“k次歸零變換”
(Ⅰ)對數(shù)列:1,2,4,8,分別寫出經(jīng)變換T1(2),T2(3),T3(4)后得到的數(shù)列;
(Ⅱ)對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個(gè)“k次歸零變換”,其中k≤4;
(Ⅲ)證明:對任意n項(xiàng)數(shù)列,都存在“n次歸零變換”.

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(Ⅰ)對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個(gè)“k次歸零變換”,其中k≤4;
(Ⅱ)證明:對任意n項(xiàng)數(shù)列,都存在“n次歸零變換”;
(Ⅲ)對于數(shù)列1,22,33,…,nn,是否存在“n-1次歸零變換”?請說明理由.

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(Ⅰ)對數(shù)列:1,2,4,8,分別寫出經(jīng)變換T1(2),T2(3),T3(4)后得到的數(shù)列;
(Ⅱ)對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個(gè)“k次歸零變換”,其中k≤4;
(Ⅲ)證明:對任意n項(xiàng)數(shù)列,都存在“n次歸零變換”.

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如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)起開始,每一項(xiàng)的平方與它前一項(xiàng)的平方的差都是同一個(gè)常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公方差.
(1)若數(shù)列{bn}是等方差數(shù)列,b1=1,b2=3,求b7;
(2)是否存在一個(gè)非常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列或等比數(shù)列,同時(shí)也是等方差數(shù)列?若存在,求出這個(gè)數(shù)列;若不存在,說明理由.
(3)若正項(xiàng)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公方差為4的等方差數(shù)列,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在正整數(shù)p,q,使不等式對一切n∈N*都成立?若存在,求出p,q的值;若不存在,說明理由.

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