Question

已知數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N*，點(diǎn)（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=2x²-x的圖象上．
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，且數(shù)列b_n是等差數(shù)列，求非零常數(shù)p的值；
（3）設(shè)，T_n是數(shù)列c_n的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)所有n∈N*，S_n=2n²-n，所以a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=4n-3，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）b_n=，由{b_n}是等差數(shù)列，設(shè)b_n=an+b，所以=an+b，于是2n²-n=an²+（ap+b）n+bp，由此能求出非零常數(shù)p的值．
（3）c_n=，所以T_n=c₁+c₂+…+c_n=
=，由T_n＜，得m＞，由此能求出最小正整數(shù)m的值．
解答：解：（1）由已知，對(duì)所有n∈N*，S_n=2n²-n，（1分）
所以當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-3，（3分）
因?yàn)閍₁也滿(mǎn)足上式，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
a_n=4n-3（n∈N^*）．（4分）
（2）由已知b_n=，（5分）
因?yàn)閧b_n}是等差數(shù)列，可設(shè)b_n=an+b（a、b為常數(shù)），（6分）
所以=an+b，于是2n²-n=an²+（ap+b）n+bp，
所以，（8分）
因?yàn)镻≠0，所以b=0，p=．（10分）
（注：用b_n+1-b_n為定值也可解，或用其它方法解，可按學(xué)生解答步驟適當(dāng)給分）
（3）c_n=，（12分）
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n
=
=
（14分）
由T_n＜，得m＞，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183014176778970/SYS201310241830141767789028_DA/18.png">，所以m≥10．
所以，所求的最小正整數(shù)m的值為10．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題材考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用．